中学受験:場合の数の基本パターンを全網羅! サイコロ問題編

サイコロ問題…樹形図をベースに条件に合わないものを排除せよ

こんにちは。かるび勉強部屋 ゆずぱ です。

読者の方々からもリクエストの多い場合の数… この場合の数が苦手な小学生が多いようです (-_-;) 場合の数の問題は、ありうるパターンをただ数えるだけなのに苦手なのはなぜでしょうか?

それは数え方があまりにも多すぎるので
全体像が見えずにモヤモヤするから

塾や学校の授業では次から次へと数え方のパターンが出てきてわからなくなってしまう。まずは基本となる10のパターンを仮の全体像としてとらえることが大事です。

今回は10のうちの6つ目の出題パターン…サイコロ問題のパターンです。サイコロ問題は計算できそうですが、あわてずに樹形図をベースにかぞえることで攻略できます。

本題のサイコロ問題の前に、場合の数の全体像をオサライします。具体的な問題の解説は第2項へお進みください d(^_^o)

 

おさらい:場合の数には3つの道具がある

道具を使い”全ての可能性を数える”こと

”場合の数問題” の全体像をご覧ください。

場合の数の問題というのは、ズバリ”全ての可能性を数え上げなさい”という問題 のこと。正しく問題を解くには以下の3つのステップを着実にこなすことが最も近道です。

STEP1では、問題文を読んで”いったい何を数えたらよいのか”をしっかり把握します。その際に役に立つのが”基本的な10種類の数え方”です。まずは基本パターンを考えましょう。

STEP2では、条件を理解します。偶数”だけ”数えなくてはいけなかったり、男子が両端にくる並び方”だけ”数えなくてはいけなかったり、入試の問題には必ず条件がついてきます(^_^;)

STEP3でいよいよ数えます。数えるには必ず道具を使います。樹形図はオールマイティですが、通り数の多い問題には使えません。樹形図をサボる道具として”順列”と”組合せ”があります。

 

3種類の道具を使って数える

3つの道具とは”樹形図””順列””組合せ”のことです。

樹形図はオールマイティな道具です。どうやって数えたら良いか迷ったらまずは樹形図で数え始めてみてもよいでしょう。書いていているうちに数え方のヒラメキがあることもあります。

順列は並べ方が何通りあるか数える道具です。シンプルに何かを並べる場合の数を求める問題の他に、並べること以外の題材を並べる行為に置き換えて数えることもよくあります。

組合せは選び方が何通りあるか数える道具です。例えば10種類のケーキがあり、3つだけ食べて良いと言われたら何を選びますか? この道具を使えば選び方が何種類あるか分かります。

場合の数の全体像を確認したい場合は、ぜひ以下の記事をご参照してみてください。スッキリしますd(^_^o)

参考:場合の数が苦手…3つの道具を使い10種の数え方をマスターせよ

 




サイコロを使った場合の数の問題を全網羅

サイコロ問題の全体像

サイコロを使った問題とは サイコロをいくつか振ってその目の出方の場合の数を数える問題です。まず基本パターンとしてサイコロに区別の有無で2種類が存在します。

そして 出た目がの条件が必ず つきます!

出た目が全て異なるとか1つが偶数であるとか…出た目についてシンプルに条件を指定してくる問題、そして出た目を足した数字がどうなるか?出た目を掛けた数字がどうなるか?の条件も∑(゚Д゚)

 

基本パターン2種

サイコロに区別がある場合とサイコロに区別が無い場合の2つの基本パターンがあります。気をつけるのは区別の無い場合です。サイコロ問題で 最初に確認すべきは区別の有無 ですd(^_^o)

 

(1) サイコロに区別があるパターン

大小2つのサイコロを投げる…同じサイコロを2回投げる…これらは大や小だったり、1回目や2回目だったり出た目に区別があります。最もシンプルなパターンです。

(2) サイコロに区別がないパターン

では…形も大きさも全く同じサイコロを同じに投げた場合はどうでしょうか?これは投げた後にどのサイコロであるか区別がつきません_φ(・_・ これが2つ目の基本パターンです。 

 

条件バリエーション6種

そして受験問題ではサイコロの出た目に必ずと言ってよいほど条件がつきます(-_-;) シンプルな条件の時もありますが、よく出題されるのが出た目の和や出た目の積に条件がつくパターン∑(゚Д゚)

・シンプルに出た目に条件がつく×2題
・出た目の和に条件がつく×2題
・出た目の積に条件がつく×2題

本記事では代表的な6つのパターンを掲載しますが、その条件は無数にあります∑(゚Д゚) ただし、この6つの条件を理解できればほとんどの条件に対応することができます_φ(・_・

頭の中は以下のように理解します
数え方は何パターンあるのか
= 基本パターン2種 × 条件バリエーション6種

サイコロ問題では2つの基本パターンと6つの条件バリエーションをご紹介します。これで12パターンですねd(^_^o) 条件は無数にあるので、数え方のパターンも無数ということです_φ(・_・

でも安心してください

2つの基本パターンと条件バリエーションを掛け合わせるという意識を持っていれば、どんな問題にも対応できます。未知の条件が出てきたら数え方のレパートリーを追加していきましょう。

それではまずは基本パターンです。

 




サイコロ問題…2つの基本パターン

基本① サイコロに区別があるパターン

問題を読むと大小2つのサイコロを振ると言っておりサイコロに区別があるということが分かりますね!それ以外に出た目の条件は記載されていないので最もシンプルな区別ありのパターンです。

条件が無いので全てのパターンを数えます

サイコロ問題では 樹形図を描いているうちにパターンに気づくというやり方が王道の解き方 です。パターンに気づくというのはどういうことでしょうか?

樹形図をすべて書かかずに計算しちゃうということですd(^_^o) では実際に樹形図を書いてみましょう。

大小2つのサイコロでどんな目が出るかを樹形図で描いていきます。サイコロの目は1~6の6通りですので、樹形図をすべて書かなくても計算して出せそうですd(^_^o)

大=1のとき…小は6通り
大=2のとき…小は同じく6通り
大=3のとき…小はまた同じく6通り
大=4のとき…小はまたまた同じく6通り

大のサイコロも1~6なので、このような樹形図が6つあることになります。すべての樹形図をかかずとも6×6=36通りと計算で求めることができます。これは順列の考え方ですね。

順列の使い方が怪しい方は、以下の記事に戻って道具の使い方をおさらいしてから戻ってきましょうd(^_^o)

参考:場合の数が苦手…3つの道具を使い10種の数え方をマスターせよ

 

基本② サイコロに区別がないパターン

今回の問題文は”2つのサイコロを同じに振る”と書かれています…2つ同時にサイコロを振った場合、よっぽど動体視力が優れていなければどっちがどっちのサイコロか分かりませんよねd(^_^o)

区別がないときの重要ポイント
樹形図で同じものが登場するので注意が必要 

 

 

例えば樹形図で出てくる1ー2と2-1は同じパターンとなり、数えてはいけません_φ(・_・ ちょっと大変ですが、同じものを数えないように樹形図をすべて描き終えてみましょう。

同じものを数えないようにする工夫があります…

それは 右に行くほど数字が大きくなるものを数える という意識!

たとえば1-2は右の数字の方が大きいので初めて登場した組み合わせと判断できます。ところが2-1は右の数字の方が小さいので以前にも登場しているので数えてはいけませんd(^_^o)

すべて数えると21通りになります。

 

補足:サイコロの区別について

ちなみに…”サイコロを2つ同じに振る”とにている文章で”サイコロを2回振る”というのがあります。サイコロを同じに2つ振った場合は区別がつきませんが、2回振る場合はどうでしょう?

1回目を振って出た目を確認し、2回目を振って出た目を確認し…という感じで区別がついちゃいます∑(゚Д゚)

大小2つのサイコロを同時に振る → 区別がつく(大と小)
サイコロを2つ同じに振る → 区別がつかない
サイコロを2回振る → 区別がつく(1回目と2回目)

となりますので気をつけましょうd(^_^o)

 




サイコロ問題…6つの条件バリエーション

出た目に条件がなければ前項の基本2パターンで全て数えることができます。問題例ではサイコロの数は共に2つでしたが、3つだろうが100個だろうが考え方は同じですd(^_^o)

出た目に条件があったらどうすれば良いでしょうか?

・出た目が全て異なる
・出た目の和が偶数になる
・出た目の積が3の倍数になる

たとえば上記のような条件です…

樹形図を描きながら漏れなく落ち着いて数えていきますが意識することは1つです。条件に合わないパターンは数えない。条件に合わなかったら取り消し線で消すのでも良いでしょうd(^_^o)

それでは6つの条件バリエーションで練習しましょう。

 

条件バリエーション① シンプル条件(1)

この問題の場合は”サイコロを2回振る”のでサイコロに区別が有ります。そして 出た目がすべて異なるという条件 がついていますね。この条件に合わないものは数えてはいけません d(^_^o)

条件外のものをカウントしたらアウトです(>_<)
間違えないために条件をかみ砕いてみましょう

すべて異なるという条件を”かみ砕く”とどうなるでしょう?言い換えると 2つのサイコロの目が同じでは無い ということです。 つまり…同じ目のものは数えてはいけません d(^_^o)

それでは…同じ数になるパターンを数えないように気をつけながら樹形図を描いてみましょう_φ(・_・ ちょっと樹形図を描くと、すべての樹形図を書かなくても計算できそうなことに気づきます d(^_^o)

1回目の目は1~6の6通りですが、2回目は1回目に出た目と同じ場合は数えてはいけません。つまり上記のように、6×5=30通りという具合に数えることができますd(^_^o)

全体像は以下のようになります。

 

条件バリエーション② シンプル条件(2)

この問題も”サイコロを2回振る”…つまり1回目と2回目で区別が有ります。そして 出た目の1つだけが偶数という条件 がついていますね。この条件に合わないものは数えてはいけません d(^_^o

もちろん条件外のものを数えたらダメ(>_<)
間違えないために条件をかみ砕いてみましょう

出た目の1つだけが偶数…この条件をいつもどおり“噛み砕いて“みましょう。 サイコロを2回振るのだから偶数が出る回数は3パターンしかありません。みてみましょう。

・偶数が0個 … 数えちゃダメ
・偶数が1個 … 数えろ!
・偶数が2個 … 数えちゃダメ

この3つのパターンしか無いことを意識しながら樹形図を描いていきましょう。樹形図を2つか3つ描いたあたりで、なんとなく法則性があることに気づきますでしょうか?

1回目が奇数のときは2回目が偶数の場合だけ数える… 1回目が偶数のときは2回目が奇数の場合だけ数える… これはひとつの樹形図につき3通りだ!ということに気づきますねd(^_^o)

結果として答えは18通りになります_φ(・_・

 

条件バリエーション③ 和の条件(1)

まずはいつもどおり基本パターンがどちらかを読み取りましょうd(^_^o) “サイコロを2つ同時に振る“とありますね。これは2つのサイコロの区別がつかないパターンですね。

そして数えていけない条件は…出た目の和が偶数ということ。出タ目の和が奇数の場合は数えてはダメです_φ(・_・

そして和が偶数になるか奇数になるかのパターンは以下です。

・偶数+偶数=偶数   数える
・偶数+奇数=奇数   数えちゃダメ!
・奇数+偶数=奇数   数えちゃダメ!
・奇数+奇数=偶数   数える!

上記の4つのパターンを意識しながら、樹形図を落ち着いて描いてみましょう。2つのサイコロに区別が無い場合は、同じものを消さなくてはいけないので細心の注意で数えていきましょう!

落ち着いて数えることができましたでしょうか? 上記のように12通りになります _φ(・_・

 

条件バリエーション④ 和の条件(2)

大小2つのサイコロを振ると書かれているので2つのサイコロには区別があるパターンです。そして条件は…出た目の和が3の倍数となっています。

3の倍数は 3、6、9、12、15、18…ですね。

サイコロの目は最大6ですので、2つのサイコロの和は最も大きくても12です。2つのサイコロの出た目の和が3、6、9、12のパターンを数えればよさそうですd(^_^o)

落ち着いて樹形図を描いてみましょう。出た目の和が3、6、9、12にならないパターンは数えてはいけません!

樹形図をいくつか描くと気づくことがあります。1つの樹形図には6本の枝ができますが ひとつの樹形図につき3の倍数は必ず2つ登場するということ。そこに気づいてしまえば簡単ですねd(^_^o)

答えは12通りですd(^_^o)

 

条件バリエーション⑤ 積の条件(1)

サイコロの区別はもう大丈夫ですか? 大小2つのサイコロを振るので2つのサイコロには区別があります。同じものを消す必要がないので条件に合致したものをガンガン数えましょう!

そして今度の条件は 出た目の和ではなく出た目の積 です。

出た目の和のときと同様、どのようなパターンがあるかあらかじめ整理してから樹形図を描くと最小限の労力で数えることができます。パターンを整理すると以下のようになります。

・偶数×偶数=偶数 数える
・偶数×奇数=偶数 数える
・奇数×偶数=偶数 数える
・奇数×奇数=奇数 数えちゃダメ!

どのような時に条件合致となるか見えてきましたでしょうか?

大きいサイコロが奇数の時は、小さいサイコロが偶数のときのみ出た目の積が偶数になることがわかりますね?小さいサイコロが2、4、6の時の3パターンですd(^_^o)

大きいサイコロがぐうすの時は、小さいサイコロがどんな数であっても偶数になりますね ∑(゚Д゚) 小さいサイコロの目は1~6まであるので6パターンです_φ(・_・

それぞれを足し合わせると27通りになります。

ここで別解を紹介します。

実はこの問題… 出た目の積が偶数になる場合の数を数えるよりも、出た目の積が奇数になる場合の数を数える方が圧倒的に楽チンです。出た目の積が奇数になるのは奇数×奇数の時だけだから!

そんな時は ”補集合の考え方”が便利 ですd(^_^o)

数というのは偶数と奇数しかないわけですから、数えるのが楽な出た目の積が奇数の方を数えて、全ての場合の数から引いてあげるという考え方ですねd(^_^o)

上記のとおり27通りが簡単に出せます∑(゚Д゚)

 

条件バリエーション⑥ 積の条件(2)

いよいよ最後の問題ですd(^_^o)

もう基本パターンは大丈夫ですね!大小2つのサイコロと書かれているので、サイコロに区別はあります。つまり同じものを消すという面倒臭い確認は不要です_φ(・_・

条件は出た目の積が3の倍数というもの…こう考えましょう。かけ算を構成する数のどこか1つでも3の倍数が入っていればそのかけ算の答えも3の倍数になる!

つまり… 出た目の中に3か6が1つでも含まれていれば出た目の積は3の倍数になるということですd(^_^o) これを意識しながら樹形図を描いて条件に合うものを数えていきましょう!

大きいサイコロが3の時は、小さいサイコロがどんな数であっても積は3の倍数になります。同じく大きいサイコロが6の時も小さいサイコロがどんな数であっても積は3の倍数になります。

大きいサイコロが3でも6でもない時…つまり1か2か4か5の時は、小さいサイコロが3か6の時に積も3の倍数になります。

落ち着いて数えると…全部で20通りになります_φ(・_・

 




まとめ

今回は無数にあるように思われる、場合の数の問題の中からサイコロをフル問題にフォーカスして解説をしてまいりました。ポイントはサイコロに区別があるのか?区別がないのか?を最初に問題文から見極めることd(^_^o) サイコロに区別が無い場合には、順番違いの同じパターンを数えないようにしなければなりません_φ(・_・

サイコロの区別の有無がわかったら、落ち着いて樹形図をベースに条件に合致するパターンを数えていきます。ほとんどの問題が出た目に条件がついています(^_^;)

しかし数え方の考えをじっくりおさえれば怖くありません!

参考:場合の数が苦手…3つの道具を使い10種の数え方をマスターせよ

参考:場合の数の基本パターンを全網羅! 整列と分配問題編

参考:場合の数の基本パターンを全網羅! カード問題編

中学受験:場合の数の基本パターンを全網羅! サイコロ問題編” に対して2件のコメントがあります。

  1. 中村 より:

    ご執筆ありがとうございます!今回も楽しい内容でした。シンプル条件2は偶数という制約がつく内容でしょうか、イラストにある表題がうまく理解できませんでした。

    1. yuzupa より:

      中村さま

      かるび勉強部屋 ゆずぱ です。

      ご指摘どおり表題/本文と挿絵がアンマッチでした。
      正しい画像に差し替えさせていただきました。

      このたびは、コメントをいただき改めて
      感謝申し上げます!

      今後も、記事の品質向上に努めてまいります!
      よろしくお願いいたします。

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 が付いている欄は必須項目です