中学受験:場合の数の基本パターンを全網羅! カード問題編

カード問題は基本パターン3種と条件バリエーション6種のかけ合わせ

こんにちは。かるび勉強部屋 ゆずぱ です。

場合の数が超苦手な子供が本当に多い (-_-;) 場合の数の問題というものは、可能性のあるパターンを数えるだけ… なぜそんなに苦手と感じる小学生が多いのでしょうか?

それは数え方があまりにも多すぎるので
全体像が見えずにモヤモヤするから…

確かに色んなパターンがあります ∑(゚Д゚) しかし、実際の入試問題を分析してみると、無数にあるように見える場合の数の問題も、その出題パターンは10種類であることが分かります。

参考:場合の数が苦手…3つの道具を使い10種の数え方をマスターせよ

この10種類の出題パターンのうち、今回はカードを使った場合の数の問題について解説いたしますd(^_^o) カード問題とは、何枚かのカードを並べて整数を作る場合の数を数えるという問題です。

まずは場合の数の全体像を解説いたします。具体的な問題の解説は第2項へお進みください d(^_^o)

 

おさらい…場合の数には3つの道具がある

道具を使い”全ての可能性を数える”こと

”場合の数問題” の全体像をご覧ください。

場合の数の問題というのは、ズバリ”全ての可能性を数え上げなさい” という問題のこと。正しく問題を解くには以下の3つのステップを着実にこなすことが最も近道です。 

STEP1では、問題文を読んで”いったい何を数えたらよいのか”をしっかり把握します。その際に役に立つのが”基本的な10種類の数え方”です。まずは基本パターンを考えましょう。

STEP2では、条件を理解します。偶数”だけ”数えなくてはいけなかったり、男子が両端にくる並び方”だけ”数えなくてはいけなかったり、入試の問題には必ず条件がついてきます(^_^;)

STEP3でいよいよ数えます。数えるには必ず道具を使います。樹形図はオールマイティですが、通り数の多い問題には使えません。樹形図をサボる道具として”順列”と”組合せ”があります。

 

3種類の道具を使って数える

3つの道具とは”樹形図”と”順列”と”組合せ”のことです。 

樹形図はオールマイティな道具です。どうやって数えたら良いか迷ったらまずは樹形図で数え始めてみてもよいでしょう。書いていているうちに数え方のヒラメキがあることもあります。

順列は並べ方が何通りあるか数える道具です。シンプルに何かを並べる場合の数を求める問題の他に、並べること以外の題材を並べる行為に置き換えて数えることもよくあります。

組合せは選び方が何通りあるか数える道具です。例えば10種類のケーキがあり、3つだけ食べて良いと言われたら何を選びますか? この道具を使えば選び方が何種類あるか分かります。

場合の数の全体像を確認したい場合は、ぜひ以下の記事をご参照してみてください。スッキリしますd(^_^o)

参考:場合の数が苦手…3つの道具を使い10種の数え方をマスターせよ

 




カードを使った場合の数の問題を全網羅

数字カード問題の全体像

カードを使った問題とは、何枚かのカードが配られて、そのカードを使って何ケタかの整数を作るという問題です。何種類の整数を作ることができるかを数えなければいけません (-_-;) 

ただ整数を作るというのであれば簡単ですが、もちろんそんなに甘くはありません(-_-;) 配られるカードにバリエーションがあったり、できあがる整数に条件がつけられたりします。

 

基本パターン3種

なんの条件もない3桁の整数を作る問題です。できあがる整数には何も条件がありませんd(^_^o) パッと見では、シンプルな問題で簡単だろうと思われますが…配られるカードにパターンがあります。

(1) シンプル(バラバラのカード)パターン
 1枚も被っていないバラバラのカードが配られる。これが最もシンプルな出題パターンです。

(2) 0のカードが紛れているパターン
 シンプルパターンと同様にバラバラのカードですが、配られたカードの中に「0」のカードが紛れています。

(3) 同じ数のカードが複数枚あるパターン
 シンプルパターンと異なり全く同じ数が書かれたカードが存在します。ちょっと複雑なパターンですね。

 

条件バリエーション6種

できあがる整数に条件がつけられていることがあります。できあがる整数が偶数でなくてはいけないとか… できあがる整数が100以上でなくてはいけないとか…

これが条件バリエーションですd(^_^o)

ここには代表的な6つのパターンを掲載しましたが、その条件は無数にあります∑(゚Д゚) ただし、この6つの条件を理解できればほとんどの条件に対応することができます_φ(・_・

そしてこう考えましょう…
数え方は何パターンあるのか
= 基本パターン3種 × 条件バリエーション

ここでは3つの基本パターンと6つの条件バリエーションですので少なくとも18種類はあります。他にも似た条件が無数にあるので、数え方のパターンも無数にあることになります_φ(・_・

でも安心してくださいd(^_^o)

3つの基本パターンを条件を掛け合わせるという意識さえもっていれば、どんな問題にも対応できます。未知の条件が出てきたらその解法を条件バリエーションに加えてあげればよいのです。

それではまずは基本パターンから見ていきましょう!

 




カード問題:基本パターン3種

基本① シンプル(バラバラのカード)パターン 

配られる数字カードにはバラバラで、できあがる整数に3ケタであるということ以外には条件はなさそうです。数字カードの問題では最もシンプルな基本的な問題ですd(^_^o)

つまり…何も考えずに並べれば良いのです

並べ方の数え方といえば、便利な道具がありました。そう…順列ですね。では順列を使って数えることを試みてみましょう!

5種類のカードから3つを取り出して並べる方法を数えれば良いのです。百の位には5枚のカードが入る可能性があります。十の位は百の位に入れたカード以外の4枚のカードです。さらに一の位には、十の位に入れたカードを除く3枚が入る可能性がありますね。

このように計算すると答えは60通りとなりますo(^-^)o

順列の使い方が怪しい方は、以下の記事に戻って道具の使い方をおさらいしてから戻ってきましょうd(^_^o)

参考:場合の数が苦手…3つの道具を使い10種の数え方をマスターせよ

 

基本② 0のカードが紛れているパターン

配られる数字カードにはバラバラで、できあがる整数に3ケタであるということ以外には条件はなさそうです。が…配られるカードに0の数字カードが含まれていたら要注意です∑(゚Д゚)

なぜなら…0は百の位には使えないから!

もし百の位が0だったらどうでしょう? 3ケタの整数ではなく2ケタの整数になってしまいます(>_<) 3ケタの整数に限らず0のカードはイチバン上の位には使えない ということです。 

さきほどと同様に百の位から考えていきましょう。

百の位には0の数字カードが使えませんので、5種類のカードのうち0以外の4種類のカードが入る可能性があります。

十の位は、百の位に入った数字以外の3種類のカードが入る可能性がありますが、今度は、百の位では使えなかった0のカードも使えますので、4種類のカードが入る可能性があります。

最後の一の位は残りの3種類のカードが入る可能性があり、掛け合わせていくと48通りの整数を作ることができます。

 

基本③ 同じ数のカードが複数あるパターン

今度は配られる数字カードはバラバラではありません∑(゚Д゚) カードを注意深く見てみると1のカードが2枚あります。こうなるともう並べ方の計算では太刀打ちできなさそうです(>_<)

順列の道具が使えない∑(゚Д゚)
そんな時はどうするか?

オールマイティな道具である”樹形図”を使って数えることを試みましょう。樹形図は全てのパターンを書き出す道具。残念ながら超面倒臭いし、数え間違いをしないよう集中力が必要です。

しかし困った時は… 気合いを入れてこの道具を使いましょうd(^_^o)

まずは…百の位に1のカードを置いてみましょう。

樹形図を描く時は “小さい方から順番に” というのが鉄則です。百の位は0のカードが使えないので、次に小さい1のカードから順番に書いていくというわけですd(^_^o)

百の位で1のカードを1枚使ったので、残ったカードは0,1,2,3の4枚 です。上記の図のように頭の中で、使ったカードには斜線を引いて消していく ことで間違いを防ぎますd(^_^o) これを頭の中でやってもOKです。

落ち着いて数えると12通りあることが分かりました!

同様に百の位が2のときの樹形図。百の位が3のときの樹形図をおちついて描いていきます。描き間違いをしないようにするためのコツはたったひとつです…

使ったカードを消していくことd(^_^o)

落ち着いて樹形図を描くと、百の位が2のときは7通り、百の位が3のときも7通りであることが分かりましたね。百の位が1のときが12通りでしたので、全部で26通りです。

 

配られるカードによる3つの基本パターン
 (1) シンプル(バラバラのカード)パターン
 (2)0のカードが紛れているパターン
 (3) 同じ数のカードが複数枚あるパターン

しっかり把握できましたでしょうか?

 




カード問題:条件バリエーション6種

できあがる整数に条件がなければ、どんなカードが配られたとしても前項でご紹介した基本3パターンで数えることができます。

できる数字に条件があったらどうすれば良いでしょうか?

・できる整数が偶数となる
・できる整数が3の倍数となる
・できる整数が100以上である
などの条件です…

それではひとつずつ確認していきましょうd(^_^o)

① できる数字が奇数/偶数

この問題の場合は、できあがる数字が3ケタの偶数という条件がついています。このようにできあがる数字に条件がついている場合は、その条件に合うものしかカウントしてはいけません。

条件外のものをカウントしたらアウトです(>_<)
間違えないために条件を“かみ砕く”必要 があります

 

偶数であるという条件を”かみ砕く”とどうなるでしょうか?

偶数を言い換えると2の倍数です。2の倍数とは2で割ることのできる整数のことを言いますが、簡単に言い換えると一の位が0か2か4か6か8の数字ということですd(^_^o)

これに合致しないモノは数えてはいけません!

樹形図の書き方はいつでも同じですd(^_^o)

数え間違いを起こさないうように、小さいものから順番に書き連ねていきます。そして条件に合わないものだったら消していくという作業をつづけます_φ(・_・

 一の位が2か0でなかったならば不適合
 これだけに集中しながら樹形図を描きます_φ(・_・

百の位が1のカードの樹形図を描いてみると3ケタの偶数は6通りであることが分かりました。あとは百の位が2の樹形図と、百の位が3の樹形図を描けばよいですねd(^_^o) 

 同様に偶数(2の倍数)以外を消しながら樹形図を描いていくと、百の位が2の時は2通り、百の位が3の時は4通りであることがわかります。全てをたすと合計12通りですねd(^_^o)

 

(別解) 先に条件で樹形図の範囲をせばめる

王道の解法は樹形図を落ち着いて描きながら、条件に合わないものを消していく(もしくは描かない)というものでした。別解として先に条件から書く樹形図を絞りこむ解法もありますd(^_^o)

 先に条件を考えると
 実は一の位が0か2のパターンしかない

ということが分かります。そうであれば、一の位は0と2に固定した上で、残りの百の位と十の位の樹形図を書けば、場合の数をもれなく数え上げることができそうです∑(゚Д゚)

実際に樹形図を描いてみると…一の位が0のときは7通り一の位が2のときは5通りという結果がでます。答えはもちろん同じ12通りになりますね o(^-^)o

 

②できる数字が4の倍数

この問題の場合は、できあがる数字が3ケタの4の倍数という条件がついています。同じようにできあがる数字に条件がついている場合は、その条件に合うものしかカウントしてはいけません。

いつもどおり条件を “かみ砕く” 必要があります

4の倍数であるという条件を”かみ砕く”とどうなるでしょうか?

4の倍数とは4で割ることのできる整数のことを言いますが、100が4の倍数であることから下2ケタが4の倍数であればその数は必ず4の倍数 になりますd(^_^o)

これに合致しないモノは数えてはいけません!

樹形図を実際に書いてみると条件に合わないモノがけっこうでてきます∑(゚Д゚) しかも十の位と一の位の2つを見て条件に合うかどうかを判断しなくてはならないので注意深さが必要です。

百の位=1、十の位=0、一の位=2
下2ケタは02は4の倍数でないので数えない

百の位=1、十の位=4、一の位=0
下2ケタは40は4の倍数なので数える

といった感じです_φ(・_・

こうやって百の位が1のときの樹形図を注意深く描き切ると実は5通りしかないことが分かりました。この調子で百の位が2のとき、3のとき、4のときの樹形図を描いていきましょう!

そうすると、それぞれ2通り、5通り、3通りであることが分かります。みなさん落ち着いて間違えずに樹形図を描くことができましたでしょうか? 全てのをたすと合計15通りになります_φ(・_・

 

(別解) 先に条件で樹形図の範囲をせばめる

先ほどと同様に、樹形図を描きながら条件に合わないものを消すのではなく、先に条件から描く樹形図を減らせないでしょうか?この5枚のカードを2枚使って4の倍数を作ってみましょう。

そうすると6パターン作れることが分かります

もちろんこれも小さい方から順番に並べてみて4の倍数になるものをピックアップしてもとめます。

この6つのパターンで百の位に何が入るかを考えれば、全ての場合の数をもれなく数えることができそうです。それでは、実際のそれぞれのパターンで百の位を考えてみましょう。

百の位に何が入るかを数えるだけなので、樹形図を描くほどでもありません。図のように使ったカードを除いてあげれば簡単に百の位に入る数字の場合の数がわかります。

十の位=0、一の位=4のとき
0のカードと4のカードを使ったので残りは1と2と3
だから百の位に入るパターンは3通り!

十の位=1、一の位=2のとき
1のカードと2のカードを使ったので残りは0と3と4
百の位には0は使えないのでパターンは2通り!

こんな感じで間違えないように数えていきます。そうすると先ほどと同じ答えである15通りになりましたね o(^-^)o

 

③ できる数字が3の倍数

この問題の場合は、できあがる数字が3ケタの3の倍数という条件がついています。できあがる数字に条件がついています。条件に合わないものを数えないように、条件を整理しましょう。

どんな条件であっても条件を ”かみ砕く” クセをつけましょう

3の倍数であるという条件を”かみ砕く”とどうなるでしょうか?

 

本記事は場合の数の解説なので、詳しい説明は割愛させていただきますが、3の倍数という条件をかみ砕くと すべての位の数字をたして3の倍数になればその数字全体も3の倍数である という条件を使って解いていきますd(^_^o)

全ての位をたして3の倍数にならないものは数えてはいけません!

実際に樹形図を描きながら、条件に合わないものを消していきます。この条件の場合は、全てのケタの数字を見て判断しなくてはいけないので、今までの問題よりさらに注意深さが必要です。

百の位=1、十の位=0、一の位=1
全てのケタの数字をたすと 1+0+1=2
2は3の倍数では無いから数えない

百の位=1、十の位=2、一の位=3
全てのケタの数字をたすと 1+2+3=6
6は3の倍数だから数える

といった具合で注意深く樹形図を書いていきますd(^_^o) 最後まで描き終えると、条件に合うのは4通りであることが分かります。

同様に残りの百の位が2の時の樹形図と、百の位が3の時の樹形図を注意深く描いていきます。それぞれ4通り、2通りとなる結果を得られましたでしょうか? 全てをたすと10通りになります。

 

④ できる数字が200以上

この問題の場合は、できあがる数字が3ケタで200以上の数という条件がついています。できあがる数字に条件がついています。条件に合わないものを数えないように、条件を整理しましょう。

いつもどおり条件を ”かみ砕く” 作業に入りましょう

200以上であるという条件をかみ砕くのは実はとてもシンプルです。百の位が2以上であれば200以上の整数 ができあがります。この問題の場合、百の位が2か3か4になれば良いのです。

条件がはっきりしましたので樹形図にとりかかりましょう。

まずは百の位が2の樹形図からです。この問題の場合他に条件がないので条件に合わないものを消すという作業が不要そうです。また同じカードも複数ないので計算でだせそうですd(^_^o)

十の位に入るのは2を除いた0か1か3か4の4通り、一の位に入るのは十の位で使ったものを除いた残りの3通りです。それぞれをかけ合わせてあげれば12通りであることが分かります。

残り…百の位が3の時、百の位が4の時の樹形図に参りましょう!

百の位が3であろうが4であろうが、樹形図を描くのを省略して計算で出せるのであれば計算でパッパと出していきます。それぞれ12通りになるので、合計では36通りですね d(^_^o)

今回のように、樹形図を描く工程になってから以下のような場合には樹形図を省略して計算ができる可能性があるので、積極的に挑戦してみましょうd(^_^o)

  樹形図を省略して計算できる条件
 ・ 条件に合わないものを消すという作業がない
 ・ 全てのカードがバラバラで同じカードがない

このような条件だった場合は樹形図を計算で求める方向へ転換することをこころみましょう!

 

⑤ できる数字が6の倍数

この問題は、できあがる数字が3ケタで6の倍数という条件がついています。今まで登場した偶数/奇数や3の倍数、4の倍数と同様できあがる数字に条件がついています。

これは単一に見えて複数の条件が合わさった条件です

ある数が6の倍数になるということは、2の倍数であり、3の倍数であるという2つの条件を両方の条件を満たすということ。つまり2つの条件を考える必要があります∑(゚Д゚)

条件をおさらいしてみましょう_φ(・_・

2の倍数である条件はかみ砕くと一の位が偶数。つまり0か2か4か8であるという条件になりました。

3の倍数である条件はかみ砕くと全てのケタの数字を足したら3の倍数であるという条件になりました。

 

条件が2つ以上ある場合には注意が必要です_φ(・_・

脳は複数のことを同時に処理するとミスが多発するからです。

 

そこで複数の処理を同時にしなくても良いような工夫が必要です。代表的な2つのアプローチをご紹介します!

アプローチ① 条件をひとつずつ処理する
シンプルに1つ目の条件だけで描く樹形図をしぼりこみ、樹形図を描く際に2つ目の条件に従って数えるというもの

アプローチ② 条件を結合して1つの条件にする
2つある条件を1つの条件にしてしまうというもの。条件どうしで重複する部分を抽出するというイメージです。

 

この問題の場合はアプローチ①を試みてみます_φ(・_・

まず一段階目として分かりやすい条件である2の倍数という条件を適用して描く樹形図をしぼっていきます。この問題の場合は、一の位が0の樹形図と、一の位の2の樹形図を書けばよいでしょう。

これで1つ目の条件は網羅したことになります∑(゚Д゚)

あとは2つ目の条件である4の倍数に合致しないものを数えないように樹形図を描くだけですd(^_^o)

すでに2の倍数にならないパターンは排除されているので、4の倍数に当たるか当たらないかに気をつけて樹形図を書けばOKです。そうすると…全部で5通りになりましたね_φ(・_・

この問題は複数の条件を1つずつ処理しました。次の問題は複数の条件をひとつにまとめるという解法をとる問題ですd(^_^o)

 

⑥ できる数が200以上300以下

この問題は、できあがる数字が3ケタで200以上300以下の数という条件がついています。これも複数の条件が合わさったものと考える と良いでしょうd(^_^o)

具体的には…1つ目の条件が200以上であるという条件、2つ目の条件は300以下であるという条件です。

今回はさきほどと違い、2つの条件をひとつにまとめて1つの条件にしてしまうというアプローチをとります。といっても、とてもシンプルな考えで条件をまとめることができます。

では…条件を整理してみましょうd(^_^o)

1つ目の条件は ”200以上” という条件
かみ砕くと…百の位が2か3になるという条件

2つ目の条件は ”300以下” という条件
かみ砕くと…百の位が2か1になるという条件

2つ目の条件の補足ですが、300ピッタリも300以下に含まれます。しかし配られたカードをみると300ピッタリは作れません。なので百の位が3というのは排除してしまって良いでしょう。

この2つの条件を合わせる…
つまり共通部分を抽出するとどうなるでしょうか?

結局のところ…
百の位が2になるという条件になります∑(゚Д゚)

ここまでくれば簡単です。百の位が2となるような3ケタの数字の場合の数を数えるための樹形図を描くだけです。

樹形図はとてもシンプルなので説明は割愛しますが、すべての場合の数を数え上げると合計で7通りになりますd(^_^o)

 




まとめ

今回は無数にあるように思われる、場合の数の問題の中からカードを使って整数を作る問題にフォーカスして解説をしてまいりました。しっかりと問題の条件を見極めることがポイントです。

場合の数の問題は、基本的な解法をとる基本パターンと条件バリエーションのかけ算で考えましょう。

 (1) 基本パターン3種
 (2) 条件バリエーション6種

もちろん本記事でご紹介する以外の独特な条件が出されることもありますが、本記事でご紹介した6種の条件は、網羅性を考慮してピックアップしております。

正しく理解し、応用を効かせる力をつけましょう d(^_^o)

場合の数に関する以下の記事もご参照ください。

リンク:場合の数が苦手…3つの道具を使い10種の数え方をマスターせよ
リンク:場合の数の基本パターンを全網羅! 整列と分配問題編





中学受験:場合の数の基本パターンを全網羅! カード問題編” に対して8件のコメントがあります。

  1. 中村 より:

    素晴らしいご分析ばかりで驚いています。早くサイコロから先を見てみたい!これから先の執筆のご予定はいつくらいになりそうでしょうか?!楽しみです。

    1. yuzupa より:

      中村さま

      かるび勉強部屋 ゆずぱ です。
      ありがたいお言葉に感謝いたしますo(^-^)o

      順次、執筆をおこなって参りますが遅くなってしまい恐縮です。
      エール出版社での出版の原稿がようやく終わったので、少し加速しようと
      思っております!9月いっぱい外部での執筆が予定されているので、
      場合の数は10月に月何本かずつ拡張していきたいと思いますmm

      お待たせしてしまい恐縮ですが、
      よろしくお願い申し上げます!!

      1. 中村 より:

        お返事ありがとうございます。場合の数、アレルギーがある子が多いですね。サイコロ、塗分け、道順、どれも楽しそうです。

  2. oidon より:

    いつもお世話になっております。
    「3ケタで6の倍数を作る方法」の記述で下記がありましたが・・。34ページあたり。

    3の倍数である条件はかみ砕くと下2ケタが4の倍数であるという条件になりました。下2ケタを見て判断する必要があります。

    1. yuzupa より:

      oidon様

      いつもお世話になっております!ゆずぱです。

      ご指摘ありがとうございます。条件のかみ砕きの部分の誤記かと
      思いますので、すぐに確認をして修正したいと思います。

      改めて、ご指摘いただいたことに感謝申し上げます。

  3. 匿名 より:

    いつも大変ためになる記事ありがとうございます。

    ⑥の問題と解答があっていないかもしれません。⑥の問題は、カードが 0,1,1,2,3 が正しいような気がします。

    1. yuzupa より:

      匿名さま

      かるび勉強部屋 ゆずぱ です。
      ご指摘どおり問題と解答がズレておりました。
      問題側を正しく修正いたしました。

      このたびはお手数をかけてご指摘いただいた事
      感謝申し上げます。今後も役に立つ情報の発信に努めて
      まいります!

      1. yuzupa より:

        匿名さま

        リコメントが遅くなりすみません!!
        苦手克服は3つの手順で実施。
        親の役割が”かなり”重要です。

        1)過去の模試結果から
          苦手な単元や分野を徹底的に抽出

        2)抽出された苦手問題の
          基礎問題を徹底的につぶす

          その方法は3つ
          ・テスト形式の基礎問題+直し
          ・個別指導でわかるまで解説してもらう
         
        いくつかの記事で公開していますので、
        ぜひ、ご参照ください!!

        算数が超苦手…苦手克服大作戦
        https://yuzupa.com/sansu-nigate/

        苦手意識を解消する方法
        https://yuzupa.com/nigate/

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