中学受験:N進法とは?たった5つの基本でシンプルに理解できる

N進法は“5つの基本”と”3つの出題パターン”で攻略せよ!

※2021年1月15日 出題パターン①の4進法のケタの間違いを修正いたしました。

こんにちは。かるび勉強部屋 ゆずぱ です。

2進法で書かれた数字が暗号にしか見えない… 入試での出題パターンを知りたい… 数字以外の表現方法の読み取り方がまったく分からない… (-_-;) シンプルな理解法はないのか?

N進法は”5つの基本”で
シンプルに理解できます

N進法の本質となる ”5つの基本”さえ理解していれば意外とシンプルに攻略 することができます。また後半では 実際の入試問題を分析してまとめた ”3つの出題パターン” もご紹介します。

それでは詳細にまいりましょうd(^_^o)

 

N進法とは?5つの基本でシンプルに理解

基本① N進法とは…数字の表現方法のこと!

そもそも…N進法とはナニモノ?

ざっくりと表現するならば ”数の表し方” のこと

上記のように”N”の部分には具体的な数字が入ります。10進法、5進法、16進法… 種類はいくらでもあります∑(゚Д゚)

ふーん…(-_-;) これだけでは”N”の部分に数字が入ることは分かったが、イマイチよく分からないので本質をお伝えします。

 

基本② 本質は ”いくつでケタが上がるか”

N進法の本質はズバリ
いくつでケタが上がるかですd(^_^o)

10進法なら10でケタがひとつ上がる、5進法なら5でケタがひとつ上がる、2進法なら2でケタがひとつ上がる…という感じです。

具体的にみてみましょう_φ(・_・

 

10進法のケタの上がり方

小学生が ふだん使っている数字は10進法で 9の次の数字でケタがひとつあがります ねd(^_^o) だから10進法です。

5進法のケタの上がり方

5進法なら4の次の数字で…ケタが上がります。

3進法のケタの上がり方

3進法なら2の次の数字で…ケタが上がります。

2進法のケタの上がり方

2進法なら1の次の数字で…ケタが上がります。

とてもシンプルですねd(^_^o) これがN進法の本質です。Nの部分がどんな数字になっても同じ考え方です。

 

最後に10進法、5進法、3進法、2進法を表に並べてみます。

例えば 2進法で表された 1100 は10進法の 12 のこと ですd(^_^o)

 

基本③ “ケタごとのカタマリ”を理解せよ

N進法の本質が理解できたら、今度は ”ケタごとのカタマリ” を意識する練習 をしましょうd(^_^o)

まずはふだんから見慣れている10進法で見てみます。

 

10進法のケタごとのカタマリ

10進法の数字は1ケタ目は1の位、2ケタ目は10の位、3ケタ目は100の位…という感じですよね?

例えばこの10進法ので “4023”は 何を意味するでしょうか?

これは 1のカタマリが3つ、10のカタマリが2つ、1000のカタマリが4つ あるという意味ですね。

それそれの ケタは数字のカタマリである ことを意識しましょうd(^_^o)

 

5進法のケタごとのカタマリ

5進法でも同じですd(^_^o)

1ケタ目は1の位、2ケタ目は5の位です。5進法では5でケタがひとつ上がるので2ケタ目は ”5のカタマリ” です。

そして3ケタ目は ”5のカタマリ” が5つ集まったものなので”25のカタマリ” ですね_φ(・_・

じゃあ5進法で ”3042” ってどういうことでしょう?

 10進法と同様に 各ケタのカタマリがいくつあるか 考えます。

5進法の ”3042” は、1のカタマリが2つ、5のカタマリが4つ、125のカタマリが3つ、合わさった数字ということです_φ(・_・

 

2進法のケタごとのカタマリ

最後に2進法でも同じように見てみましょう。

N進法のNがどんな数字であっても考え方は全ていっしょですd(^_^o) 落ち着いて考えればできます!

 

基本④ 表現方法はたくさんある

さて… N進法を今まで数字で表してきましたが、入試では数字意外の表現方法がよく出されます∑(゚Д゚)

いくつかのパターンをご紹介しますが、まずはオーソドックスな数字によるN進法の表現から…

数字以外の例…まずは 入試で頻出しているソロバンっぽい表現 です。各ケタに箱が用意されていてそこに玉を入れるイメージです。

次は 図形の色塗りで表現されるパターン です。これはN進法を知っていないと気づけないかも…(-_-;)

最後に 独自パターンによる表現 です。これは一例ですが記号と数字が対応していて、さらにN進法でケタ上がりするというもの。

まずはこの4パターンの表現をおさえておけば、入試会場でもひらめくことができる可能性がグンと上がりますd(^_^o)

 

基本⑤ 身近なN進法を知る 

最後は入試で直接とわれることはありませんが、知識として知っておいた方がよいN進法の身近な事例ですd(^_^o)

① アラビア数字

ふだん使っている数字は”アラビア数字”と呼ばれている数字の表記方法です。このアラビア数字…もちろん10でケタが上がるので10進法ですね d(^_^o)

② ローマ数字

時計の文字盤などで使われる”ローマ数字”… 5を ”V” と表し、10を”X”と表します。5ごとに新しい記号が割り当てられているので5進法の一種と分類されています。

③ 時間の単位

時刻を示す単位である ”秒” や ”分” や “時間” は60進法です。1秒が60個集まると1分にケタ(単位)上がりし、1分が60個集まると1時間にケタ(単位)上がりしますd(^_^o)

④ コンピュータ

最後はコンピュータの中にある数字です。コンピュータの中の数字はすべて2進数が使われています。電気や磁気ではオンとオフの2種類しか表現できないので2進法が使われています_φ(・_・

 




中学入試での3つの出題パターン

N進法の本質がわかったところで…いよいよ実際の入試出題パターンにまいりたいと思います。

そして全ての問題は以下の王道アプローチで解いていきましょう!

それでは具体的な3つの出題パターンをご紹介しますd(^_^o)

 

パタン① この図形はいくつ?

まずはもっともよく出題されるパターンです。

N進法を表現する図や数字が問題文に書かれており、N進法に気づかせた上で”この図形の表す数字はいくつでしょう”というもの。

具体的な問題例をみてみましょう。

この問題を解くためには、まずこれがどんなルールで記述されているかを特定するところから入ります。

N進法っぽいことに気づいたら、いくつでケタ上がりしているかをさぐっていきましょう_φ(・_・

この場合は4進法ですねd(^_^o)

N進法のNが何か分かれば次はN進法の本質に移ります。4進法と分かれば 各ケタのカタマリも分かりますね。

各ケタのカタマリがいくつずつあるのかを考えます。

この問題では1のカタマリが2つ、4のカタマリが3つ、16のカタマリが1つですねd(^_^o)

最後は計算です。

答えは 30 ですd(^_^o)

 

パタン② 図にかきいれなさい

次のはパターン①とは逆のパターンです。今度は数字から図を描きなさいという形の問題 です。

同様にN進法のNが何なのか?探りを入れていきます。

これは 2の次の数字でケタ上がりしているので3進法 だと分かりました。次はカタマリです。

3進法の各ケタのカタマリは以下のようになりますね。

ここからがこのパターンのポイントです。

51という数字を描くために、どのケタにいくつ数字を入れていけば良いかを考えなくてはいけません。

51を分解しながら上から各ケタに数字を入れていきます

具体的にやってみましょう。

表したい数字は 59 なので5ケタ目は大きすぎます。次の4ケタ目はカタマリの大きさが27なので2つ入りますね。

59から27のカタマリを2つ格納したので残りは5です。

こうやって59が全て格納できれば完成ですo(^-^)o

 

実際に検算してみましょう。

1のカタマリが2つ、3のカタマリが1つ、27のカタマリが2つ…全部合わせると確かに59になりますね!

 

パタン③ 表現できる範囲は?

最後は表現できる範囲を問う問題です。さっそくですが、まずは例題をごらんください。

ちょっと難しそうですが…やることはいっしょです。N進法だと思ったらNがいくつかを探りますd(^_^o)

これは2つ目の数字でいきなりケタがあがっているので2進法だということがわかりますね(@_@)

いつもどおり各ケタのカタマリも意識しましょう!

 

設問① いくつまで表せるか?

最初の設問です。

この5つのマスで表せるもっとも大きな数字はいくつでしょうか?最大の数となるのは全てのケタが最大の時です。

そしてその最大の数字がいくつであるか計算します。

各ケタのカタマリを計算してみましょう。

 

2進法の数字5ケタで表すことができる最大の数字は31 であるということが分かりましたo(^-^)o

 

設問② 何マス必要か?

2つ目の設問です。

最大である75を表すのには何マス必要なのでしょうか? 最大である75をこの2進法の表現で書いてみましょうd(^_^o)

上のケタから75を各ケタに格納していきます…

7ケタ目に1つ、4ケタ目に1つ、2ケタ目に1つ、1ケタ目に1つの数字が入ることが分かります。

そうすると何マス必要なのか分かりますね!

7ケタ目までで75を表すことができますので、8ケタ目より大きケタは不要ですねd(^_^o)

 




まとめ

N進法… 2進法の数字は暗号にしかみえなかったり、図で示された数字が全く読み取れなかったり… とっつきにくいN進法も5つの基本でスッキリ理解できますd(^_^o)

N進法 ”5つの基本”
 ① N進数は 数字の表現方法
 ② 本質は いくつでケタが上がるか
 ③ ケタごとのカタマリを意識せよ
 ④ 表現方法はあたくさんある
 ⑤ N進法の身近な例 

そしてこの5つの基本を使って王道のアプローチをしましょう!

 

これらを理解していれば、N進法の入試問題も怖くありません o(^-^)o

参考:”素数”の本質の解説はこちら






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中学受験:N進法とは?たった5つの基本でシンプルに理解できる” に対して2件のコメントがあります。

  1. 匿名 より:

    こんにちは。小5の子供が急に中学受験に挑戦してみたいと言い出し、こちらのサイトに辿り着きました。とてもわかりやすくまとめてくださってありがとうございます。
    一つ質問なのですが、
    パタン①の4進法のところで
    ×4の計算がされていないように思ったのですがいかがでしょうか。
    私の勘違いでしたら申し訳ありません。
    これからもこちらのサイトで勉強させていただきたいと思っています。よろしくお願いします。

    1. yuzupa より:

      匿名さま

      誤りのご指摘、たいへんありがとうございました。
      ご指摘どおりのミスがございましたので修正を行いました。

      本職がIT系エンジニアとして、
      とてもお恥ずかしいミスがありました。

      お手間をかけてコメントいただいたことに
      心より感謝申し上げます。

      今後も訪問いただけると嬉しく思います。

      かるび勉強部屋
      ゆずぱ

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